Что такое трапеция, описанная около окружности

Трапеция – это четырехугольник, две из сторон которого параллельны друг другу. Трапеция может иметь пару противоположных углов прямых или всю четырех угла не прямых. В зависимости от своих свойств, трапеции делятся на много разновидностей, включая трапеции, описанные вокруг окружности.

Трапеция, описанная вокруг окружности, является особой разновидностью трапеций, в которой все ее вершины лежат на окружности. Эта трапеция имеет необычные свойства, и ее решение задач требует особого внимания.

В данной статье мы рассмотрим определение трапеции, описанной вокруг окружности, ее свойства и подробное решение задач, которые на нее могут быть поставлены. Эта информация будет полезна тем, кто интересуется геометрией и решением задач на эту тему.

Определение трапеции, описанной вокруг окружности

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две — нет. Если трапеция описана вокруг окружности, то она называется описанной трапецией.

Для того чтобы понять, что трапеция описана вокруг окружности, нужно привести ее боковые стороны к перпендикулярному проектированию на прямую, соединяющую середины параллельных сторон. Каждая из вершин трапеции будет лежать на окружности, описанной вокруг нее.

В случае описанной трапеции две стороны, не соединенные диагональю, являются хордами окружности, а диагональ — ее диаметром. Свойства описанной трапеции сходны со свойствами описанных окружностей.

Пример

Пусть дана трапеция ABCD, описанная около окружности с центром O.

• AC и BD — диагонали трапеции;
• AB и DC — основания трапеции;
• BC и AD — боковые стороны трапеции.

При этом AO = DO = CO = BO — радиус описанной окружности.

Свойства трапеции, описанной вокруг окружности

Свойство 1: Базы трапеции параллельны

Одним из главных свойств трапеции, описанной вокруг окружности, является то, что ее основания являются параллельными. Таким образом, каждая из сторон трапеции является хордой окружности, а углы между сторонами и основаниями являются полууглами четырехугольника, составляющегося из двух равных трапеций и высоты.

Свойство 2: Диагонали трапеции равны

Еще одним важным свойством трапеции, описанной вокруг окружности, является равенство ее диагоналей. Данный факт следует из того, что вписанный четырехугольник имеет две пары равных углов, а значит, его диагонали равны по теореме об углах вписанной в окружность.

Свойство 3: Сумма углов трапеции равна 360 градусов

Сумма углов трапеции, описанной вокруг окружности, также равна 360 градусов. Это свойство следует из того, что соответствующие углы, образованные двумя параллельными прямыми, равны между собой, а также из того, что угол, составленный диагоналями, равен 180 градусов.

Свойство 4: Площадь трапеции можно найти по формуле

Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, можно найти с помощью формулы:

S = (a+b) * h / 2

где a и b – основания трапеции, h – высота, соответствующая любой из оснований.

Формулы для вычисления углов трапеции, описанной вокруг окружности

Угол между основаниями

Угол между основаниями трапеции, описанной вокруг окружности, равен половине величины разности дуги, описывающей меньшее основание, и дуги, описывающей большее основание:

∠ABD = ½(ΔAC — ΔBD)

где AC и BD — дуги, описывающие соответствующие основания трапеции.

Угол при вершине трапеции

Угол при вершине трапеции, описанной вокруг окружности, равен половине суммы величин дуг, описывающих боковые стороны:

∠BAD = ½(ΔAB + ΔCD)

где AB и CD — дуги, описывающие боковые стороны трапеции.

Общая сумма углов

Сумма углов трапеции, описанной вокруг окружности, равна 360°:

Σ∠ = 360°

Это свойство верно для любых трапеций, независимо от того, описаны они вокруг окружности или нет.

Как найти длину боковой стороны трапеции, описанной вокруг окружности

Трапеция, описанная вокруг окружности, имеет особые свойства, одним из которых является равенство суммы оснований и радиусов квадратов этой трапеции:

a + b = 2r²/h

где а и b — основания трапеции, h — высота, r — радиус окружности.

Для нахождения длины боковой стороны такой трапеции необходимо знать длины оснований и радиус окружности, а также высоту. Обозначим длину боковой стороны как c.

Тогда из свойства трапеции следует:

• a + b = c + d — где d — вторая боковая сторона
• d = c — (b — a)

Далее, подставляя значния в формулу для равенства суммы оснований и радиусов:

a + b = 2r²/h

мы получим уравнение, которое можно решить относительно двух переменных, например, a и r:

1. r = √(ah)
2. b = 2r²/h — a

Таким образом, подставляя значения a, b, r и h в уравнение d = c — (b — a), мы можем найти длину второй боковой стороны и затем вычислить длину боковой стороны как c = d + (b — a).

Как найти площадь трапеции, описанной вокруг окружности?

Определение трапеции, описанной вокруг окружности

Трапецией, описанной вокруг окружности, называется фигура, у которой две ее стороны являются хордами окружности, а две другие — продолжениями этих хорд.

Формула для вычисления площади трапеции, описанной вокруг окружности

Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, можно найти по формуле:

S = (a+b) * r * h / 2

• a и b — длины сторон трапеции, описанной вокруг окружности;
• r — радиус окружности, описанной вокруг трапеции;
• h — высота трапеции.

Пример решения задачи на нахождение площади трапеции, описанной вокруг окружности

Пусть дана трапеция, описанная вокруг окружности, с длинами сторон a = 6 и b = 10 см. Радиус этой окружности r = 5 см. Найдем площадь трапеции.

Высоту трапеции можно найти по теореме Пифагора:

h = √(r² — ((b-a)/2)²) = √(5² — ((10-6)/2)²) ≈ 4.9 см.

Подставляем известные значения в формулу для нахождения площади:

S = (6+10) * 5 * 4.9 / 2 = 58.5 см².

Ответ: площадь трапеции, описанной вокруг окружности, равна 58.5 см².

Решение задач на трапецию, описанную вокруг окружности

Задача 1:

В трапеции ABCD угол BAC равен 60°, AD = 2, AB = 4, BC = 6. Найдите длину диагонали BD.

Решение:

1. Найдем углы трапеции. Так как угол BAC = 60°, то угол BDC = 120° (дополнительный к углу BAC).
2. Найдем угол ADB. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABD: AB² = AD² + BD² — 2*AD*BD*cos(ADB). Подставим известные значения: 4² = 2² + BD² — 2*2*BD*cos(ADB). Упростим: BD² — 2*BD*cos(ADB) + 2² = 4² — 2² = 12. Используем косинусный закон для нахождения косинуса угла ADB: cos(ADB) = (AD² + BD² — AB²) / (2*AD*BD) = (2² + BD² — 4²) / (2*2*BD) = (-12) / (4*BD) = -3/BD. Подставим в уравнение: BD² — 2*BD*(-3/BD) + 4 = 12, получим квадратное уравнение: BD² + 6BD — 8 = 0.
3. Решим уравнение. Найдем дискриминант: D = 6² + 4*8 = 60. Корни уравнения: BD1 = (-6 + √60) / 2 ≈ 1,2, BD2 = (-6 — √60) / 2 ≈ -7,2. Отрицательный корень не подходит, оставляем BD = BD1 = (-6 + √60) / 2 ≈ 1,2.
4. Ответ: длина диагонали BD ≈ 1,2.

Задача 2:

В трапеции ABCD углы B и C прямые, BD = 3, CD = 4. Найдите длину стороны AB, если радиус описанной окружности равен 5.

Решение:

1. Найдем длину диагонали трапеции. Так как углы B и C прямые, то трапеция ABCD является прямоугольной. Используем теорему Пифагора для треугольника BDC: BD² + CD² = BC². Подставим известные значения: 3² + 4² = BC², получим BC = 5.
2. Найдем полупериметр трапеции. Для этого найдем высоту трапеции. Высота трапеции CD = 4. Используем теорему Пифагора для треугольника ACD: AD² = AC² + CD² = (AB + BC)² + CD². Подставим известные значения и раскроем скобки: AD² = AB² + 2*AB*BC + BC² + CD² = AB² + 2*AB*5 + 5². Преобразуем: AB² + 10AB + 16 = AD².
3. Используем формулу радиуса описанной окружности для трапеции: R = (AB*BC) / (2*CD — AB — BC). Подставим известные значения и выразим AB: AB = (2*R*CD) / (BC + 2*R) = (2*5*4) / (5 + 2*5) = 4/3.
4. Ответ: длина стороны AB равна 4/3.

Примеры заданий и решений для трапеции, описанной вокруг окружности

Пример 1:

Дана трапеция ABCD, вписанная в окружность радиуса 5 см. Основания трапеции имеют длины 8 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Находим высоту трапеции по формуле: h = √(R² – ((a−b)² / 4)), где R – радиус окружности, a и b – основания трапеции.
2. h = √(5² − ((12−8)² / 4)) ≈ 4.9 см.
3. Находим площадь трапеции по формуле: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b – основания трапеции.
4. S = ((8 + 12) / 2) * 4.9 ≈ 49 см².

Пример 2:

Дана трапеция ABCD со сторонами 10 см, 15 см, 15 см и 20 см. Точки M и N – середины сторон AB и CD соответственно. Найдите длину отрезка MN.

Решение:

1. Находим радиус описанной окружности трапеции по формуле: r = (√ab/(a+b)) * √((a+b+c+d) * (b+d-a-c)) / 2, где a, b, c, d – длины сторон трапеции.
2. r = (√10*15/(10+15)) * √((10+15+15+20) * (15+20-10-15)) / 2 ≈ 13.66 см.
3. Найдем расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AMN и CMN: d = √((R₁ + R₂)² – (MN/2)²), где R₁ и R₂ – радиусы окружностей, описанных около треугольников AMN и CMN соответственно.
4. d = √((13.66 + 13.66)² – (MN/2)²) ≈ 27.3 см.
5. Так как MN – это диаметр окружности, описанной около треугольника AMN, то MN = 2r₁. Поэтому, MN = d.
6. MN ≈ 27.3 см.

Вопрос-ответ

Как определить площадь трапеции, описанной вокруг окружности?

Площадь трапеции, описанной вокруг окружности, можно найти по формуле S=(a+b)h/2, где a и b — длины оснований, а h — высота. Для трапеции, описанной вокруг окружности, основания равны сумме и разности двух радиусов, а высота равна радиусу.

Как решить задачу о трапеции, описанной вокруг окружности, если известна длина одной диагонали?

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойством трапеции, описанной вокруг окружности, о том, что диагонали перпендикулярны и делятся в пропорции a:b, где a и b — длины оснований. Если известна длина одной диагонали, например, AC, то можно найти длину другой диагонали, BD, по формуле BD=2r-AC, где r — радиус. Затем, зная длины диагоналей и одно из оснований, можно найти второе основание, а затем и периметр и площадь трапеции, описанной вокруг окружности.