Окружности являются одним из самых важных и широко применяемых геометрических объектов. Касание двух окружностей — один из тех известных случаев, когда краткие геометрические задачи могут быть очень сложными.
Если окружности касаются друг друга, то это может произойти двумя способами. Если они имеют общую внешнюю точку касания, мы говорим, что окружности касаются внешним образом. Если же они имеют общую внутреннюю точку касания, мы говорим, что окружности касаются внутренним образом.
В этой статье мы рассмотрим точный алгоритм, который позволяет автоматически определить, касаются ли окружности внутренним образом, и приведем несколько примеров геометрических задач, где этот случай играет важную роль.
Что такое внутреннее касание?
Внутреннее касание — это способ расположения двух окружностей друг относительно друга, при котором одна окружность лежит внутри другой и касается ее в одной единственной точке. Эта точка называется точкой внутреннего касания. В этом случае, радиус внешней окружности больше радиуса внутренней.
Для того чтобы окружности касались внутренним образом, необходимы определенные условия. Во-первых, центр внутренней окружности должен лежать на прямой, проходящей через центр внешней окружности. Во-вторых, расстояние между центрами окружностей должно быть равно разности радиусов: r1 = R2 — R1. Это условие и обеспечивает касание в одной единственной точке.
Внутреннее касание находит широкое применение в геометрии и математике, в частности, при решении задач по геометрии. Например, если известны длины отрезков, соединяющих точки внутреннего и внешнего касания окружностей с прямой, проходящей через центры окружностей, то можно вычислить радиусы и координаты центров этих окружностей.
Как определить внутреннее касание?
Внутреннее касание — это касание окружностей, при котором одна окружность лежит полностью внутри другой. Чтобы определить внутреннее касание, нужно:
- Найти центры окружностей. Они являются серединами отрезков, соединяющих две точки на каждой окружности, а именно — точки пересечения осей окружностей.
- Вычислить расстояние между центрами окружностей. Оно должно быть меньше суммы радиусов наружной и внутренней окружностей. Если это условие выполнено, то мы имеем внутреннее касание.
- Построить касательную к внутренней окружности в точке касания. Она должна быть параллельна внешней окружности и проходить через центр внутренней окружности.
Примером внутреннего касания может служить ситуация, когда внешняя окружность — это описанная окружность треугольника, а внутренняя — вписанная окружность треугольника. Обе окружности касаются одной из сторон треугольника в одной точке.
Какой угол образуется при внутреннем касании?
При внутреннем касании окружностей образуется угол, который называется углом касательной.
Угол касательной определяется линией, проходящей через точку касания и центр окружности.
Угол касательной внутренней окружности можно вычислить по следующей формуле:
- Найдите расстояние между центрами окружностей, для которых образуется угол касательной (обозначим это расстояние как d).
- Вычислите радиус внутренней окружности (обозначим его как r1).
- Используя теорему Пифагора, найдите расстояние от центра внутренней окружности до точки касания (обозначим его как h).
- Тогда угол касательной вычисляется по формуле: angle = arccos((d — 2r1) / (2h)).
Например, если у нас есть внутренняя окружность радиусом 5 и внешняя окружность радиусом 10, и они касаются внутренним образом, то угол касательной будет:
- d = 10 — 5 = 5
- r1 = 5
- h = sqrt(10^2 — 5^2) = sqrt(75) = 5 * sqrt(3)
- angle = arccos((5 — 2 * 5) / (2 * 5 * sqrt(3))) = arccos(0.5 / sqrt(3)) = 30°
Какие свойства имеет окружность при внутреннем касании?
Окружности, касающиеся внутренним образом, имеют несколько особенных свойств:
- Центры окружностей и точки касания лежат на одной прямой, называемой линией касательной.
- Радиусы окружностей, касающихся внутренним образом, равны.
- Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов.
Эти свойства могут быть использованы для решения задач, связанных с построением сложных геометрических фигур и вычислением их параметров. Например, если есть окружность радиуса 6 и другая окружность касается первой окружности внутренним образом и имеет радиус 2, то можно вычислить расстояние между центрами окружностей, которое будет равно 10. Это свойство можно также применять для построения окружностей с заданным радиусом и касательной к ним.
Примеры задач с внутренним касанием окружностей
1. Дана окружность с радиусом 6 см и точка, находящаяся внутри этой окружности. Нарисуйте все возможные касательные, которые проходят через эту точку.
Решение: Построим две ортогональные прямые, проходящие через данную точку. Точки их пересечения с окружностью будут являться точками касания с искомыми касательными. Построим биссектрису угла, образованного этими прямыми. Она проходит через центр искомой окружности. Найдём точку пересечения этой биссектрисы и окружности, это будет центр искомой окружности. Тогда радиус этой окружности равен 4 см. Найдём точки касания с прямыми, проходящими через данную точку и построенными через точки на окружности. Ответ: две касательные.
2. Даны две окружности, радиус первой равен 5, радиус второй равен 3, расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите длину общей внешней касательной к этим окружностям.
Решение: Построим линию, соединяющую центры окружностей, она равна 8. Построим треугольник, образованный линией, соединяющей центры окружностей, и двумя радиусами, проведенными до точек касания. Этот треугольник прямоугольный. Найдём длину медианы, исходящей из вершины, образованной точкой касания двух окружностей на линии, соединяющей центры окружностей. Её длина равна $\sqrt{(5 + 3)^2 — 8^2/4} = \sqrt{16} = 4$. Искомая длина касательной равна $4 \times 2 = 8$. Ответ: 8.
3. Даны три окружности, которые касаются друг друга внутренним образом. Известно, что две из них имеют радиусы равные 6 и 4. Найдите радиус третьей окружности.
Решение: Пусть третья окружность имеет радиус $r$. Построим биссектрису угла, образованного линиями, соединяющими центры трех окружностей, она проходит через центр искомой окружности. Также построим биссектрисы углов, образованных линиями, соединяющими центр третьей окружности и центры двух окружностей, радиусы которых равны 4 и 6. Найдём точку пересечения этих биссектрис, которая будет являться центром третьей окружности. Из теоремы о расстоянии между центрами окружностей, радиус третьей окружности равен $r = \dfrac{24}{7}$. Ответ: $\dfrac{24}{7}$.