Теорема о подобии треугольников гласит, что если у двух треугольников равны соответствующие углы, то они подобны. Но каково соотношение их площадей? Математики выяснили, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.
Формула площади подобных треугольников:
Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то их площади S1 и S2 связаны формулой:
S1/S2 = k2
Это значит, что площадь одного треугольника равна площади другого треугольника, умноженной на квадрат коэффициента подобия.
Примеры:
Рассмотрим два подобных треугольника. Пусть первый имеет стороны: a = 4 см, b = 6 см, c = 8 см, а второй - a' = 8 см, b' = 12 см, c' = 16 см. Коэффициент подобия k = a/a' = b/b' = c/c' = 0.5.
Применяя формулу площади подобных треугольников, получаем:
S1 = S2 * k2
S1 = S2 * (0.5)2
S1 = 4 * (0.5)2
S1 = 4 * 0.25
S1 = 1 см2
Таким образом, площадь первого треугольника составляет 1 квадратный сантиметр.
Доказательство формулы:
Для доказательства формулы площади подобных треугольников воспользуемся свойством проекций. Предположим, что треугольники PQR и ABC являются подобными с коэффициентом подобия k.
Найдем высоту треугольников PQR и ABC, опущенные на основания PQ и AB соответственно. Обозначим эти высоты h и h'. Так как треугольники PQR и ABC подобны, то соответствующие стороны этих треугольников относятся как k.
Из свойства подобных треугольников получаем, что отношение длин высот:
h/h' = k
Зная, что площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту, получаем:
SPQR = 0.5 * PQ * h
SABC = 0.5 * AB * h'
Следовательно, площади треугольников в отношении равны:
SPQR/SABC = h/h'
Используя отношение длин высот, получаем:
SPQR/SABC = k
SPQR = SABC * k
SPQR = SABC * k2
Таким образом, мы доказали формулу площади подобных треугольников.
Площади подобных треугольников: формула, примеры, доказательство
Для подобных треугольников справедливо следующее свойство: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Это значит, что если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.
Формула для площади треугольника: S = (a * h) / 2, где S - площадь, а и h - основание и высота.
Примеры:
- Два треугольника: a = 6 см, b = 8 см, c = 10 см; a' = 3 см, b' = 4 см, c' = 5 см. Соотношение сторон - 2:1, треугольники подобны. S = (6 * h) / 2 = 3h, S' = (3 * h') / 2 = 1.5. Отношение площадей - 2:1.
- У нас есть треугольник со сторонами a = 5 см, b = 6 см и c = 7 см. Найдем его площадь. Формула S = (a * h) / 2. Треугольник со сторонами a' = 10 см, b' = 12 см и c' = 14 см - подобен первому (отношение сторон 2:1). Площадь второго треугольника: S' = 5h'. Так как они подобны, отношение площадей: (S' / S) = 4. Итак, S = (5 * h) / 2, S' = 10h, отношение площадей треугольников 4:1.
Свойство отношения площадей подобных треугольников можно доказать геометрически, используя понятие подобия и соответствующие пропорции. Доказательство этого свойства требует знания основных понятий геометрии и математической логики.
Формула
Для подобных треугольников с коэффициентом подобия k площади будут относиться как квадраты коэффициента подобия.
Формула площади подобных треугольников:
S2 = k2 * S1
Где:
- S1 - площадь первого треугольника
- S2 - площадь второго треугольника
- k - коэффициент подобия
Одним из примеров использования формулы является задача, в которой даны два подобных треугольника с известными коэффициентами подобия и площадью первого треугольника, и необходимо найти площадь второго треугольника. Для этого достаточно подставить известные значения в формулу и вычислить площадь второго треугольника.
Примеры
Рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять, как работает формула для площадей подобных треугольников.
Пример 1:
Пусть у нас есть два треугольника: ABC и DEF. Известно, что их стороны пропорциональны друг другу:
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k,
где k - некоторое постоянное значение больше нуля.
Площадь треугольника ABC равна:
S(ABC) = (1/2) * AB * AC * sin(∠BAC).
Площадь треугольника DEF равна:
S(DEF) = (1/2) * DE * DF * sin(∠EDF).
Используя факт о пропорциональности сторон треугольников, мы можем выразить AB, BC, AC через DE, EF, DF:
AB = k * DE,
BC = k * EF,
AC = k * DF.
Подставим эти значения в формулу для площади треугольника ABC:
S(ABC) = (1/2) * (k * DE) * (k * DF) * sin(∠BAC) = k^2 * (1/2) * DE * DF * sin(∠EDF).
Теперь видно, что площади треугольников ABC и DEF относятся следующим образом:
S(ABC)/S(DEF) = (k^2 * (1/2) * DE * DF * sin(∠BAC)) / ((1/2) * DE * DF * sin(∠EDF)) = k^2.
Пример 2:
Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Пусть у них равны углы:
∠BAC = ∠EDF,
∠ABC = ∠DEF,
∠ACB = ∠DFE.
В этом случае, стороны треугольников также пропорциональны:
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k, где k - некоторое постоянное значение больше нуля.
Аналогично, площадь треугольника A'B'C' равна половине произведения длины стороны A'C' на длину высоты, опущенной на эту сторону:
| S(A'B'C') = (1/2) * A'C' * h' |
Подставим эти выражения в соотношение площадей подобных треугольников:
S(ABC)/S(A'B'C') = (1/2) * AC * h / ((1/2) * A'C' * h') = AC/h * A'C'/h' = k^2
| Площадь треугольника ABC: | SABC = (1/2) * AC * h |
Площадь треугольника A'B'C' равна половине произведения длины стороны A'C' на длину высоты, опущенной на эту сторону:
| Площадь треугольника A'B'C': | SA'B'C' = (1/2) * A'C' * h' |
Так как треугольники ABC и A'B'C' являются подобными, соответствующие стороны пропорциональны:
| AC / A'C' = BC / B'C' = AB / A'B' |
Для удобства записи, обозначим отношение длин сторон AC и A'C' как k:
| k = AC / A'C' |
Тогда длины сторон BC и B'C' также будут пропорциональны, и отношение их длин можно обозначить как k:
| BC / B'C' = k |
Из пропорции для сторон треугольников ABC и A'B'C' можно выразить длины сторон AB и A'B' через k:
| AB = k * A'B' |
Подставляя полученные значения сторон треугольников в формулы для площадей, получим:
| SABC = (1/2) * (k * A'C') * h |
| SA'B'C' = (1/2) * A'C' * h' |
Отношение площадей треугольников ABC и A'B'C' будет равно:
| SABC / SA'B'C' = ((1/2) * (k * A'C') * h) / ((1/2) * A'C' * h') |
| SABC / SA'B'C' = (k * A'C' * h) / (A'C' * h') |
| SABC / SA'B'C' = k * (h / h') |
Таким образом, отношение площадей подобных треугольников ABC и A'B'C' равно отношению длин высот, опущенных на соответствующие стороны треугольников. Доказана формула, используемая для нахождения отношения площадей подобных треугольников.